世界观速讯丨2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (二)

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世界观速讯丨2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (二)

2023-06-25 22:47:35 来源：哔哩哔哩小 中

预选赛题 5.

(1) 这是容易的，只要考虑对角线全为，其它元素全为的矩阵，其行列式为。如果为奇数则任意调换矩阵的两行即可。

【资料图】

(2) 先来说明怎么将矩阵的行列式问题转换为矩阵的行列式问题：对于的矩阵，我们考虑如下的步骤：

将其变为；

构造矩阵，其行列式与相同；

将第行都加上第一行，得到，其中为所有元素全为的阶方阵。那么。

现在对直接写不等式，得到，则对应的。分别代入，它们都满足。

(3) 本问赛时我没有任何思路，直接抄的如下论文：Clements, G. F., & Lindström, B. (1965). A Sequence of (±1)-Determinants with Large Values. Proceedings of the American Mathematical Society, 16(3), 548–550.

后来发现可以用概率方法做。具体来说考虑随机矩阵，其中每个元素都等可能地取或。写出行列式的定义

其中，则根据期望的线性性质有

因此当充分大时，存在某个使得，对应的。当时容易比较。

预选赛题 6.

1. 高中题，直接取并注意到即可得到。

2. 如果这样的存在，令，则是方程的两根。记，其中为整数，，则。而

且充分大时，因此，这样就能表示为。

此时再次写出。由于，因此。但此时，矛盾。因此这样的不存在。

实际上直接抄定理证明也可以，不过对这个问题来说多少有点小题大做。

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